La riposte
La semaine dernière, nous avons eu droit à une offensive des biologistes dans La Tartine . Mais les mathématiques sont partout, même dans un de leurs articles (et ça me permet de réviser mes examens !)
Rappelez-vous du quizz dans lequel une des questions avait les possibilités suivantes : $A$- La réponse $A$ ; $B$- La réponse $C$ ; $C$- La réponse $B$ ; $D$- Je lance un dé à trois faces, si je fais $1$, réponse $B$. Si je fais $2$, réponse $C$. Si je fais $3$, réponse $D$. (J'ai volontairement simplifié l'énoncé du problème).
Ca saute aux yeux, n'est-ce pas, on reconnaît une chaîne de Markov ! (Il suffit de se convaincre que chaque lancé de dé est indépendant du précédent). On suppose juste que le lecteur donne une nouvelle réponse à chaque itération et que sa nouvelle réponse dépend de celle qu'il a donné précédemment.
Voici le schéma qu'on a envie de dessiner pour la modéliser :
Ca ressemble beaucoup aux automates finis qu'on étudie en informatique mais ça n'en est pas vraiment un (Il n'y a ni états entrants, ni états sortants, ...).
A partir de là on peux calculer un certain nombre de propriété de la suite des réponses. Supposons que le lecteur ait répondu $C$ la première fois.
Déjà, on peut noter que les ensembles {\em {récurrents sont ${ A$ et ${ B,C$ (ils bouclent sur eux même, on ne peut pas en sortir), $D$ étant le seul état {\em {transitoire (on ne va pas y rester éternellement car il pointe sur des états récurrents)
Combien de temps va t'il mettre pour répondre $A$ ou $D$ ? Un temps infini (ça ne se produira jamais) donc $T=+\infty$. Et pour qu'il réponde $D$ ? Personne ne sera surpris si je dis qu'il le fera dès l'itération suivante ($T=1$).
Et pour qu'il réponde $ C $ ? -Mais c'est idiot ça, il a déjà répondu $C$. -Oui, donc $T=0$ !
Maintenant que vous avez compris le cas simple du lecteur qui a répondu $C$, vous ferez sans peine les cas où il a répondu $A$ ou $B$ au départ.
Mais le cas où il a répondu $D$ au début est beaucoup moins trivial ... en particulier si on veut savoir le temps moyen qu'il va mettre pour répondre $B$ ou $C$.
On va s'interesser au premier cas (temps moyen pour répondre $B$)
Un théorème du cours de Processus Stochastique permet de résoudre cela très facilement. Quelques notations d'abord.
On note $T_x$ le temps moyen que va mettre le lecteur qui a répondu $x$ au départ pour répondre $B$ (on prendra ensuite $x=D$). On note $P$ la {\em {matrice de transition c'est à dire, dans le cas présent,
$P=$ 
On a numéroté les lignes et les colonnes de cette matrice de $A$ à $D$. Pour comprendre à quoi elle correspond, il suffit de lire les lignes. Prenons la ligne $D$ par exemple : Le lecteur qui vient de répondre $D$ a une proba $0$ de répondre $A$ et une proba $\frac{1{3$ de répondre en $B$, $C$ ou $D$ la fois suivante.
Le théorème dit que $T_x$ vérifie le système d'équations linéaires suivant :
$T_x=0$ si $x=B$
$T_x=1+(PT)_x$ si $x\neq B$
où $(PT)_x$ est la $x$-ième coordonnée du vecteur $PT$ ($T$ étant écrit sous la forme de vecteur colonne)
Dans le cas présent, on a donc :
$T_A=1 + T_A$
$T_B=0$
$T_C=1 + T_B$
$T_D=1 + \frac{1{3T_B + \frac{1{3T_C + \frac{1{3 T_D$
La première équation semble problématique mais c'est tout simplement parce que $T_A = + \infty$. En effet :
$ + \infty + 1 = + \infty$ !
On retrouve $T_B=0$ et $T_C=1$ et enfin, ce qu'on cherche depuis le début, $T_D=2$ !
En répondant $D$, on met donc en moyenne deux itérations pour arriver en $B$ (et idem pour $C$, par symétrie), c'était loin d'être évident au premier abord !
Pour ceux que cet exercice a passionné, nous vous rappelons que le cours de ``Processus Stochastique'' a lieu tous les jeudis après-midi à 13h30 en salle A1 et que l'examen aura lieu le 18 mai 2006 (même heure, même lieu) et qu'il rapporte 6 ECTS.
J'aurai pu présenter d'autres théorèmes pour vous donner envie de venir, mais les résultats qu'ils donnent sont triviaux sur cet exemple.
Pour finir, j'ajouterai juste qu'on vient de commencer l'étude du mouvement brownien, découvert par un biologiste, compris par un physicien (extrèmement célèbre d'ailleurs) et modélisé par les mathématiciens...
PS : Saviez-vous que lors d'un mouvement brownien, une particule qui passe en un point à un temps $0$ y repasse une infinité non dénombrable de fois après un temps fini ?